无穷

Infinity
与极限紧密相关

基本概念

无穷小和无穷大的定义

无穷小：极限为零 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0/\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$
无穷大：总存在正数 $\delta$ ，$M$ 为任意给定的正数，有：$0<|x-x_0|<\delta ,|f(x)|>M$
则有：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$

函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件：$\underset{x\to x_0}{lim}/\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha$

无穷大与无穷小的关系

极限运算法则

无穷小的应用

无穷小的比较

等价无穷小

互为等价无穷小的充分必要条件：$\beta \sim \alpha \leftrightarrow \beta =\alpha +o(\alpha )$
可以使用等价无穷小进行极限计算：

常见的等价无穷小：$x\to 0$
$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$
$1-\cos x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ $\tan x-\sin x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3$
$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

可以扩展使用：$f(x)\to 0$
$f(x)\sim \sin f(x)\sim \tan f(x)\sim \arcsin f(x)\sim \arctan f(x)\sim \ln (1+f(x))\sim e^{f(x)}-1$
$1-\cos f(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}f(x{)}^2$ $\tan f(x)-\sin f(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}f(x{)}^3$
$(1+f(x){)}^{\alpha }-1\sim \alpha f(x)$

实际应用

也要注意变形，实际上等价无穷小可以解决很多问题
当 $x\to 0$ 时，如果 $g(x)\to 0$，则有：

如果 $f(x)\to 1$，